El Continental infinito

Malèna (¡tú, Ella, prácticamente Monica Belucci!) y yo. Frente a frente. Nos repartimos seis naipes y empezamos. La meta será hacer dos tercias. Fácil, ¿no? Alguno lo logra (¿quién?). El siguiente paso: siete cartas. Ahora intentamos conseguir una tercia y una corrida. La primera evidentemente de tres cartas, la segunda de cuatro. Alguno lo logra. Ocho cartas: dos corridas. Nueve cartas: tres tercias. Malèna me enseñó a jugar hasta juntar doce cartas, es decir, tres corridas (¿o cuatro tercias?, da lo mismo). Cuenta que ella llegó a jugar con sus primos hasta tener veinte naipes (o sea, ¡cinco corridas!). Y a esto lo llama El Continental. Bastante entretenido el jueguito. Y la última partida, sin "bajarse".

Surge inmediatamente la pregunta: ¿hasta que número podríamos jugar? En tiempos de epidemias como en los que estamos, necesitamos una buena manera de pasar el tiempo, así que me aventuro a contestar la pregunta con miras a jugar indefinidamente, o al menos hasta que podamos nuevamente salir a la superficie terrestre.

Replanteo la pregunta: ¿hasta qué número podríamos jugar teniendo en cuenta que ese número debe ser suma de 3 y 4? Por ejemplo, el 2,287,936. Suponiendo que tuviéramos manos gigantescas que pudieran sostener esa cantidad de cartas, ¿será cierto que podemos bajarlas todas haciendo únicamente tercias y corridas? Esta pregunta es bastante sencilla de contestar. Una pregunta más general sería: ¿Bajo qué condiciones dos números a y b son tales que cualquier número a partir de alguno es realizable como suma de a y b? Esa pregunta me la dejo de tarea. En un primer intento sólo logré resolver algunos casos, como a=3, b=4.

Es muy fácil. No es la respuesta más elegante pero funciona. Nótese primero que del 10 al 20 es posible (de otra forma Malèna y sus primitos estaban haciendo trampa). Ahí va la lista:

10=2x3+1x4
11=1x3+2x4
12=0x3+3x4
13=3x3+1x4
14=2x3+2x4
15=5x3+0x4
16=0x3+4x4
17=3x3+2x4
18=6x3+0x4
19=1x3+4x4
20=2x10=2x(2x3+1x4)=4x3+2x4

¡Y listo! Hay que notar que el veinte fue hacer dos veces lo que se hizo con el 10. ¿El 21? Ah, pues hacer lo del 10 y lo del 11, esto da 21. Así logramos la decena 20 al 29. Con esta nueva decena se hace la decena siguiente. Con lo del 10 y 20 se hace el 30, 11 y 20 hacen 31, y así sucesivamente hasta el 39. Usamos esta nueva decena y logramos la decena 40 al 49. Siguiendo de esta manera, de 10 en 10 llegas a cualquier número. Llegar al 2,287,936 tomará algo de tiempo pero eventualmente se logrará. Hago un esfuerzo mental y me doy cuenta de que 2,287,936=124,896x3+478,312x4. ¡Uff, ciento veinticuatro mil ochocientos noventa y seis tercias y cuatrocientos setenta y ocho mil trescientas doce corridas!

Ahí tenemos. Ahora podemos jugar un continental infinito teniendo la certeza de que no nos llevaremos una sorpresa. Esto además se puede convertir en una variante de la última petición del condenado. En vez de la canción de los elefantes, un continental.